Catena Markov Monte Carlo

Molte distribuzioni a posteriori non possono essere campionate direttamente utilizzando un semplice metodo di estrazione indipendente. MCMC costruisce una catena di Markov il cui obiettivo è la distribuzione stazionaria di lungo periodo. Ogni nuovo stato dipende dallo stato attuale e, in condizioni adeguate, le medie tra i sorteggi possono approssimare le aspettative a posteriori. Poiché le estrazioni sono dipendenti, il numero di righe salvate non corrisponde alla quantità di informazioni indipendenti. Nel caso Metropolis-Hastings, la distribuzione delle proposte suggerisce uno stato candidato. L'algoritmo accetta quel candidato con una probabilità basata sul rapporto tra le densità target e, quando la proposta è asimmetrica, una correzione per le probabilità della proposta diretta e inversa. Se rifiuta, la catena ripete lo stato precedente. Una proposta simmetrica con percorso casuale semplifica il rapporto, ma una proposta scarsamente dimensionata potrebbe muoversi troppo raramente o adottare misure inefficienti. Il campionamento di Gibbs è uno speciale approccio di aggiornamento condizionale: campiona ciascuna variabile dal suo condizionale completo dati i valori correnti delle altre. Funziona quando tali distribuzioni condizionali sono disponibili e la catena ha proprietà adeguate. Immagina un obiettivo unidimensionale in cui le proposte vengono spesso respinte perché le dimensioni dei passaggi sono troppo grandi. La catena ripete gli stati, aumentando l’autocorrelazione e riducendo la dimensione effettiva del campione. Passi molto piccoli possono essere accettati frequentemente ma esplorati lentamente. Esiste un compromesso tra accettazione e movimento e la diagnostica dovrebbe esaminare se catene diverse esplorano le stesse regioni. Scartare il riscaldamento iniziale può ridurre la dipendenza dall'inizializzazione, ma non esiste un numero fisso di estrazioni che garantisca la convergenza. Esegui più catene da punti di partenza dispersi, ispeziona i tracciati ed esamina il cappello R e la dimensione effettiva del campione per le quantità che contano. Questa diagnostica può non riuscire a rivelare tutte le patologie, in particolare con modalità separate o code poco esplorate. Esaminare anche gli avvisi specifici del campionatore e l'errore Monte Carlo. MCMC stima l'incertezza numerica dalla simulazione finita; non eliminano l’incertezza nel modello statistico o nei dati. Riportare cosa è stato campionato, come è stato diagnosticato e quali riassunti posteriori sono sufficientemente affidabili per la decisione.